(i)

点$\mathrm{E}$が${\displaystyle (\frac{5}{3},0)}$にあるとき、$\mathrm{AE}$は、
${\displaystyle \mathrm{AE}=2-\frac{5}{3}}$
${\displaystyle \mathrm{AE}}$${\displaystyle =\frac{1}{3}}$
である。

問題文より$\mathrm{BF}=2\mathrm{AE}$なので、
${\displaystyle \mathrm{BF}=2\cdot \frac{1}{3}}$
${\displaystyle \mathrm{BF}}$${\displaystyle =\frac{2}{3}}$
なので、点$\mathrm{F}$の$y$座標は、
$2+{\displaystyle \frac{2}{3}=\frac{8}{3}}$
となる。

よって、このとき、四角形${\mathrm{EFE}}^{\prime }{\mathrm{F}}^{\prime }$は図Ｂのようになる。

図の固定

四角形${\mathrm{EFE}}^{\prime }{\mathrm{F}}^{\prime }$の面積$S$は、ひし形の面積の公式から求めてもいいんだけど、ここでは△$\mathrm{OEF}$の面積を$4$倍する方法で計算する。

図Ｂより、△$\mathrm{OEF}$（赤い三角形）の面積は
${\displaystyle \frac{1}{2}\cdot \frac{5}{3}\cdot \frac{8}{3}}$
なので、四角形${\mathrm{EFE}}^{\prime }{\mathrm{F}}^{\prime }$の面積$S$は、その$4$倍の
$S={\displaystyle 4\times \frac{1}{2}\cdot \frac{5}{3}\cdot \frac{8}{3}}$
$S$${\displaystyle =\frac{80}{9}}$
である。

解答ア：８, イ：０, ウ：９

(ii)

$\mathrm{AE}=t$
とおくと、
$0\leqq t<2$式Ａ
である。

このとき、
$\mathrm{OE}=2-t$ $\mathrm{OF}=2+2t$ となる。

図の固定

図Ｃでは、グラフの下半分は省略。

(i)と同様に、△$\mathrm{OEF}$（図Ｃの赤い三角形）の面積は
${\displaystyle \frac{1}{2}(2-t)(2+2t)=(2-t)(1+t)}$
なので、、四角形${\mathrm{EFE}}^{\prime }{\mathrm{F}}^{\prime }$の面積$S$は、
$S=4(2-t)(1+t)$式Ｂ
と表せる。

式Ｂは上に凸の放物線の式で、グラフは横軸と$t=-1,2$で交わる。
このことから、式Ａを定義域として式Ｂのグラフを描くと、図Ｄができる。

図の固定

図Ｄより、$S$が最大になるのは、放物線の頂点。
頂点の$t$座標は、$-1$と$2$の中点なので、
${\displaystyle \frac{-1+2}{2}=\frac{1}{2}}$
である。

これを式Ｂに代入して、$S$の最大値は
$S=4(2-\frac{1}{2})(1+\frac{1}{2})$
$S$$=(4-1)(2+1)$
$S$$=9$
である。

また、図Ｄより、$S$の最小値は存在しないけど、
$0<S$
であることが分かる。

以上より、$S$の範囲は
$0<S\leqq 9$
である。

解答あ：$0<S\leqq 9$

(2)では、点$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$，${\mathrm{E}}^{\prime }$，${\mathrm{F}}^{\prime }$は(1)と同様に図Ａの矢印の向きに動く。
ただし、(1)と違って、点$\mathrm{E}$は原点を通り越して点$\mathrm{C}$まで移動する。
点$\mathrm{E}$が原点上にあるときは考えない。

このとき、(1)のときと同様に
$\mathrm{AE}=t$
とおくと、
$0\leqq t\leqq 4$
だけど、$\mathrm{E}$が原点上にある場合は考えないので、
$t\ne 2$
である。

なので、$t$の定義域は、
$0\leqq t<2$，$2<t\leqq 4$
となる。

$0\leqq t<2$のとき、式Ｂより、
$S=4(2-t)(1+t)$
である。

このとき、$S=T$だから
$4(2-t)(1+t)=4\cdot 2$
より
$(2-t)(1+t)=2$
$-t^2+t+2=2$
$t(-t+1)=0$
なので、
$t=0,1$式Ｃ
となる。

この２つの解はともに場合分けの$0\leqq t<2$に含まれる。

$2<t\leqq 4$のときは、点$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$，${\mathrm{E}}^{\prime }$の位置は図Ｅのようになる。
（グラフの下半分は省略）

図の固定

よって、
$\mathrm{OE}=t-2$ $\mathrm{OF}=2+2t$ なので、△$\mathrm{OEF}$（図Ｅの赤い三角形）の面積は、
${\displaystyle \frac{1}{2}(2-t)(2+2t)=(t-2)(1+t)}$
なので、、四角形${\mathrm{EFE}}^{\prime }{\mathrm{F}}^{\prime }$の面積$S$は、
$S=4(t-2)(1+t)$
と表せる。

このとき、$S=T$だから
$4(t-2)(1+t)=4\cdot 2$
より
$(t-2)(1+t)=2$
$t^2-t-2=2$
$t^2-t-4=0$
なので、解の公式より
$t={\displaystyle \frac{1\pm \sqrt{1^2-4\cdot 1\cdot (-4)}}{2\cdot 1}}$
$t$${\displaystyle =\frac{1\pm \sqrt{17}}{2}}$
となる。

いま、$t$の範囲は$2<t\leqq 4$なので、
$t{\displaystyle =\frac{1-\sqrt{17}}{2}}$
は不適。
答えは
$t={\displaystyle \frac{1+\sqrt{17}}{2}}$式Ｄ
のひとつだけだ。

今度は、点の動きが逆だ。

これまでと同じように
$\mathrm{AE}=t$
とすると、点$\mathrm{E}$の$x$座標は
$2+t$
とかける。

また、$\mathrm{BF}=2t$なので、点$\mathrm{F}$の$y$座標は
$2-2t$
とかける。

$t$の範囲を考えると
$0\leqq t$
だけど、$\mathrm{F}$が原点上にある場合は考えないので、
$2-2t\ne 0$
より
$t\ne 1$
である。

よって、$t$の定義域は、
$0\leqq t<1$，$1<t$
となる。

$0\leqq t<1$のとき、点$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$，${\mathrm{E}}^{\prime }$，${\mathrm{F}}^{\prime }$の位置は図Ｆのようになる。

図の固定

このとき$S$は、△$\mathrm{OEF}$（図Ｆの赤い三角形）の$4$倍なので、
$S=4{\displaystyle \cdot \frac{1}{2}(2+t)(2-2t)}$
$S$$=-4(t+2)(t-1)$   $(0\leqq t<1)$
とかける。

また、$1<t$のとき、点$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$，${\mathrm{E}}^{\prime }$，${\mathrm{F}}^{\prime }$の位置は図Ｇのようになる。

図の固定

このとき$S$は、△$\mathrm{OEF}$（図Ｇの赤い三角形）の$4$倍なので、
$S=4{\displaystyle \cdot \frac{1}{2}(2+t)(2t-2)}$
$S$$=4(t+2)(t-1)$   $(1<t)$
とかける。

以上より、$S$は
$S=\{\begin{array}{ll}-4(t+2)(t-1)& (0\leqq t<1)\\ 4(t+2)(t-1)& (1<t)\end{array}$式Ｅ
となる。

式Ｅより、
$0\leqq t<1$のとき、グラフは上に凸の放物線で、$t=-2$，$1$で横軸と交わる。 $1<t$のときのグラフは、$0\leqq t<1$のときのグラフと$x$軸に関して対称だ。 両方の放物線で、軸は$-2$と$1$の中央なので、定義域に入らない。

また、$t=0$のとき、四角形$\mathrm{ABCD}$と四角形${\mathrm{EFE}}^{\prime }{\mathrm{F}}^{\prime }$は同じ図形なので、
$t=0$のとき、$S=T$である。

以上より式Ｅのグラフを描くと、図Ｈができる。

図の固定

図Ｈができたところで、選択肢を考えよう。

以上より、選択肢のうちで正しいのは
①，③
である。

解答ケ：１，３