188
データの代表値

問題文中の表より、20人の合計が$660$なので、平均値$\bar{x}$は、
${\displaystyle \bar{x}=\frac{660}{20}=33}$

解答ア：３, イ：３, ウ：０

番号１の生徒について、
$y=18$
$y-\bar{y}=1$
なので、
$18-\bar{y}=1$
$\bar{y}=17$
である。

解答エ：１, オ：７, カ：０

生徒数は20だから、Aは$y$の平均値を$20$倍して、
$\mathrm{A}=17\times 20$
$\mathrm{A}$$=340$
となる。

解答キ：３, ク：４, ケ：０

193
分散と標準偏差

また、$\mathrm{B}$は偏差の合計なので、考えるまでもなく$0$。

解答コ：０, サ：０

復習

相関係数は、共分散をそれぞれの変数の標準偏差の積で割ったものだった。
共分散は、偏差の積の平均だった。

199
相関係数

この問題の場合、
共分散$={\displaystyle \frac{1}{20}\cdot 353}$
$x$の標準偏差$=\sqrt{\frac{1}{20}\cdot 2000}$
$y$の標準偏差$=\sqrt{\frac{1}{20}\cdot 500}$

なので、相関係数$r_{xy}$は、
$r_{xy}={\displaystyle \frac{\frac{1}{20}\cdot 353}{\sqrt{\frac{1}{20}\cdot 2000}\times \sqrt{\frac{1}{20}\cdot 500}}}$
$r_{xy}{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{\frac{1}{20}\cdot 353}{\sqrt{{\left(\frac{1}{20}\right)}^2\cdot 4\cdot {500}^2}}}$
$r_{xy}{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{353}{2\cdot 500}}$
$r_{xy}$$=0.353$
である。

解答シ：０, ス：３, セ：５, ソ：３

表Ａ

		$y$
		０以上 10未満	10以上 20未満	20以上 30未満	30以上 40未満	40以上 50以下
$x$	０以上 10未満	0	0	0	0	0
	10以上 20未満	1	1	1	0	0
	20以上 30未満	0	C	1	0	0
	30以上 40未満	0	D	4	0	0
	40以上 50以下	1	3	2	0	0

問題文より、表Ａの青で囲んだ部分の和が16、赤で囲んだ部分の和が８だということが分かっている。
青い部分の和にはCD両方含まれているので使えない。
赤い部分の和を使う。

赤い部分の和が８なので、
$\mathrm{C}+4=8$
$\mathrm{C}=4$

解答タ：４

生徒数は20、赤い部分の和は８なので、
$\mathrm{D}+10=12$
$\mathrm{D}=2$

解答チ：２

復習

もとのデータのすべてに$a$たして新しいデータを作った場合、新しいデータの平均値も$a$増える。
詳しくはこのページ参照。

566
確率変数の変換

なので、
$\bar{w}=33+50$
$\bar{w}$$=83.0$
である。

解答ツ：８, テ：３, ト：０

復習

もとのデータのすべてを$a$倍して新しいデータを作った場合、新しいデータの分散は$a^2$倍になる。
詳しくはこのページ参照。

問題文の表より、$y$の偏差の２乗和は500.0なので、これを生徒数で割ると$y$の分散となる。
$y$の分散$={\displaystyle \frac{500}{20}}$
これを$2^2$倍して、
$z$の分散$={\displaystyle \frac{500\times 2^2}{20}}$
$z$の分散$=100$
である。

解答ナ：１, ニ：０, ヌ：０, ネ：０, ノ：０

188
データの整理

次は$z$のヒストグラムだ。
$z$分布をみるために、$z$のもとになっている$y$の分布を調べよう。

表Ａより、$y$の度数分布表（表Ｂ）をつくった。

表Ｂ

０以上 10未満	10以上 20未満	20以上 30未満	30以上 40未満	40以上 50以下
2	10	8	0	0

表Ｂの階級上限と下限を２倍すると、$z$の度数分布表（表Ｃ）になる。

表Ｃ

０以上 20未満	20以上 40未満	40以上 60未満	60以上 80未満	80以上 100以下
2	10	8	0	0

表Ｃとヒストグラムを比較した場合、 ０ ０以上20未満に３人いるから矛盾する。 １ ０以上20未満に５人いるから矛盾する。 ２ ０以上20未満は２人で正しいけれど、20以上40未満に11人いるから矛盾する。 ここまでくると答えは３だと分かるけど、一応確認。
３ ０以上20未満は２人で正しい。20以上40未満も10人で正しい。40以上60未満も８人で正しい。それ以上は０で、これも正しい。 よって、正しいのは３。

解答ハ：３

相関係数は標準化された値なので、

復習

$x,y$を
$\{\begin{array}{l}w=ax+b\\ z=cx+d\end{array}$ ($a,b$ は０でない実数・$b,d$ は実数)
と変換したとき、$w$と$z$の相関係数は
$a$，$c$が同符号なら、もとの$x$と$y$の相関係数と同じ $a$，$c$が異符号なら、もとの$x$と$y$の相関係数$\times -1$

っていうのを知っていれば、答えは②だって分かるけど。
ここではそれを知らないものとして説明する。

もう一度相関係数の復習をしよう。

復習

相関係数とは、共分散をそれぞれの変数の標準偏差で割ったものだった。

復習

共分散とは、($x$の偏差×$y$の偏差)の平均、つまり$(x-\bar{x})(y-\bar{y})$の平均だった。

ということで、共分散から考えよう。

$x$と$y$の共分散$={\displaystyle \frac{1}{20}\sum _{k=1}^{20}(x_k-\bar{x})(y_k-\bar{y})}$式Ａ
$w$と$z$の共分散$={\displaystyle \frac{1}{20}\sum _{k=1}^{20}(w_k-\bar{w})(z_k-\bar{z})}$式Ｂ
$w=x+50$なので、式Ｂの$(w_k-\bar{w})$の部分は、
$(w_k-\bar{w})=\{(x_k+50)-(\bar{x}+50)\}$
$(w_k-\bar{w})$$=(x_k-\bar{x})$式Ｃ
といえる。
また、$z=2y$なので、式Ｂの$(z_k-\bar{z})$の部分は、
$(z_k-\bar{z})=(2y_k-2\bar{y})$
$(z_k-\bar{z})$$=2(y_k-\bar{y})$式Ｄ
といえる。

なので、式Ｂは、
$w$と$z$の共分散$={\displaystyle \frac{1}{20}\sum _{k=1}^{20}(x_k-\bar{x})\cdot 2(y_k-\bar{y})}$
$w$と$z$の共分散${\displaystyle }$${\displaystyle =2\cdot \frac{1}{20}\sum _{k=1}^{20}(x_k-\bar{x})(y_k-\bar{y})}$式Ｂ'
となる。

なので、式Ａ・Ｄ'より、
$w$と$z$の共分散$=2\times (x$と$y$の共分散$)$
といえる。

次に標準偏差について考えるのだけれど、説明がややこしくなるので、標準偏差の２乗である分散で考えよう。

復習

分散とは、偏差の２乗の平均、つまり$(x-\bar{x}{)}^2$の平均だった。

$x\text{の分散}{\displaystyle =\frac{1}{20}\sum _{k=1}^{20}(x_k-\bar{x}{)}^2}$ $y\text{の分散}{\displaystyle =\frac{1}{20}\sum _{k=1}^{20}(y_k-\bar{y}{)}^2}$ $$式Ｅ
$w\text{の分散}{\displaystyle =\frac{1}{20}\sum _{k=1}^{20}(w_k-\bar{w}{)}^2}$ $z\text{の分散}{\displaystyle =\frac{1}{20}\sum _{k=1}^{20}(z_k-\bar{z}{)}^2}$ $$式Ｆ
式Ｃ・Ｆより、式Ｆは、
$w\text{の分散}{\displaystyle =\frac{1}{20}\sum _{k=1}^{20}(x_k-\bar{x}{)}^2}$ $z\text{の分散}{\displaystyle =2^2\cdot \frac{1}{20}\sum _{k=1}^{20}(y_k-\bar{y}{)}^2}$ $$式Ｆ'
となる。
なので、式Ｅ・Ｈ'より、
$w$の分散$=x$の分散
$z$の分散$=2\times (y$の分散$)$
といえる。

以上より、
$x$と$y$の相関係数$r_1={\displaystyle \frac{x\text{と}y\text{の共分散}}{\sqrt{x\text{の分散}}\times \sqrt{y\text{の分散}}}}$
$w$と$z$の相関係数$r_2={\displaystyle \frac{w\text{と}z\text{の共分散}}{\sqrt{w\text{の分散}}\times \sqrt{z\text{の分散}}}}$
$w$と$z$の相関係数$r_2{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{2\times (x\text{と}y\text{の共分散})}{\sqrt{x\text{の分散}}\times \sqrt{2^2\times (y\text{の分散})}}}$
$w$と$z$の相関係数$r_2{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{x\text{と}y\text{の共分散}}{\sqrt{x\text{の分散}}\times \sqrt{y\text{の分散}}}}$
となるので、
$r_1=r_2$
である。

解答ヒ：２