160
余弦定理

まず∠Cの$\cos$と$\sin$を求める。
三辺の長さが分かっているので、余弦定理より、
${\sqrt{7}}^2=2^2+3^2-2\cdot 2\cdot 3\cdot \cos \mathrm{\angle }\mathrm{C}$
${\displaystyle \cos \mathrm{\angle }\mathrm{C}=\frac{2^2+3^2-{\sqrt{7}}^2}{2\cdot 2\cdot 3}}$
${\displaystyle \cos \mathrm{\angle }\mathrm{C}}$${\displaystyle =\frac{1}{2}}$
となる。

解答ア：１, イ：２

142
正弦・余弦・正接

$\cos \mathrm{\angle }\mathrm{C}$が${\displaystyle \frac{1}{2}}$より、$\mathrm{\angle }\mathrm{C}={60}^{\circ }$。なので、計算するまでもなく、
${\displaystyle \sin \mathrm{\angle }\mathrm{C}=\frac{\sqrt{3}}{2}}$
である。

解答ウ：３, エ：２

160
正弦定理

次は外接円の半径だ。$\sin \mathrm{\angle }\mathrm{C}$を求めた後に外接円の半径なので、外接円の半径$R$は、正弦定理より、
${\displaystyle \frac{c}{\sin \mathrm{\angle }\mathrm{C}}=2R}$
$2R={\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}}$
$R={\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}}$
$R{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{\sqrt{21}}{3}}$
である。

解答オ：２, カ：１, キ：３

図Ｂに、これまでに分かったことをまとめてみた。
∠AOBは円周角∠Cに対する中心角なので、${120}^{\circ }$。
外接円の中心OからABに下ろした垂線の足をHとすると、$\mathrm{△}\mathrm{AOH}\equiv \mathrm{△}\mathrm{BOH}$で、${30}^{\circ }{60}^{\circ }$の直角三角形が２つできる。

次に問われている円Oの弧ABと弦ABに囲まれた図形は、図Ｂのピンクの部分だけど、斜線の扇形から青い三角形を引けばいいのが分かる。

斜線の扇形の面積$S_1$は、
$S_1={\displaystyle {\left(\frac{\sqrt{21}}{3}\right)}^2\cdot \pi \cdot \frac{{120}^{\circ }}{{360}^{\circ }}}$
$S_1{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{7}{9}\pi }$

青い三角形の面積$S_2$は△BOHの面積の２倍なので、
$S_2=2{\displaystyle \times \frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{7}}{2}\cdot \frac{\sqrt{21}}{3}\cdot \sin {30}^{\circ }}$
$S_2{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{7\sqrt{3}}{12}}$

以上より、ピンクの部分の面積$S$は、
$S=S_1-S_2$
$S{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{7}{9}\pi -\frac{7\sqrt{3}}{12}}$
となる。

解答ク：７, ケ：９, コ：７, サ：３, シ：１, ス：２

図Ｃで、∠ACD=${120}^{\circ }$なので、△ACDで余弦定理を使うと、
${\mathrm{AD}}^2=3^2+5^2-2\cdot 3\cdot 5\cdot \cos {120}^{\circ }$
${\mathrm{AD}}^2$$=49$
$0<\mathrm{AD}$なので、
$\mathrm{AD}=7$
となる。

解答セ：７

314
方べきの定理と逆

次は$\mathrm{AB}\cdot \mathrm{EB}$だ。辺の長さをかけたものを聞かれているから、まず方べきの定理を疑おう。
△ACDの外接円で、方べきの定理より、
$\mathrm{AB}\cdot \mathrm{EB}=\mathrm{CB}\cdot \mathrm{DB}$式Ａ
$\mathrm{AB}\cdot \mathrm{EB}$$=14$
である。

解答ソ：１, タ：４

問題文より$\mathrm{AB}=\sqrt{7}$なので、式Ａは
$\sqrt{7}\mathrm{EB}=14$
$\mathrm{EB}=2\sqrt{7}$
となる。
なので、
$\mathrm{AE}=\sqrt{7}$
であることが分かる。

解答チ：７

■
三角形の面積比

さらに、△ABC（図Cで斜線の三角形）と△EBD（青い三角形）の面積の比率を求める。
斜線の三角形と青い三角形を比べると、BDを底辺として、
底辺が${\displaystyle \frac{7}{2}}$倍
高さが$2$倍
なので、面積比は
$1:{\displaystyle \frac{7}{2}\times 2=1:7}$
であるから、
${\displaystyle \frac{\text{△}\mathrm{ABC}\text{の面積}}{\text{△}\mathrm{EBD}\text{の面積}}=\frac{1}{7}}$
である。

こんな説明じゃ分からないという人は、別解を見てほしい。

解答ツ：１, テ：７

291
三角形の重心

最後に、△EBDの重心をGとする。
点Aは辺EBの中点なので、
点Gは中線DA上にあり、$\mathrm{DG}:\mathrm{GA}=2:1$。
セより$\mathrm{AD}=7$なので、
${\displaystyle \mathrm{DG}=7\times \frac{2}{3}}$
${\displaystyle \mathrm{DG}}$${\displaystyle =\frac{14}{3}}$
である。

解答ト：１, ナ：４, ニ：３