数学Ⅱ ： 三角関数 公式集
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弧度法
右図で、
$\theta\ [\mathrm{rad}]=\cfrac{\ell}{r}$
$\ell =r \theta$
$\pi\ [\mathrm{rad}]=180^{\circ}$
単位円と三角関数
$\sin(-\theta)=-\sin\theta$ $\cos(-\theta)=\cos\theta$ $\tan(-\theta)=-\tan\theta$
$\sin(\pi\pm\theta)=\mp\sin\theta$ $\cos(\pi\pm\theta)=-\cos\theta$ $\tan(\pi\pm\theta)=\pm\tan\theta$
$\sin\left(\cfrac{\pi}{2}\pm\theta\right)=\cos\theta$ $\cos\left(\cfrac{\pi}{2}\pm\theta\right)=\mp\sin\theta$ $\tan\left(\cfrac{\pi}{2}\pm\theta\right)=\mp\cfrac{1}{\tan\theta}$
三角関数のグラフ
$y=\sin x$ のグラフ
周期：$2\pi$
値域：$-1\leqq y\leqq 1$
$y=\cos x$ のグラフ
周期：$2\pi$
値域：$-1\leqq y\leqq 1$
$y=\tan x$ のグラフ
周期：$\pi$
値域：すべての実数
グラフの移動と拡大縮小
グラフは$0 \lt p$，$0 \lt q$，$1 \lt s$，$1 \lt t$のとき
グラフの平行移動
$y=f(x)$→$y=f(x-p)$
$y=f(x)$→$y-q=f(x)$
グラフの対称移動
$y=f(x)$→$-y=f(x)$
$y=f(x)$→$y=f(-x)$
グラフの拡大
$y=f(x)$→$y=f\left(\frac{x}{s}\right)$
$y=f(x)$→$\displaystyle \frac{y}{t}=f(x)$
グラフの縮小
$y=f(x)$→$y=f(sx)$
$y=f(x)$→$ty=f(x)$
加法定理
加法定理
$\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta$ $\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta$ $\tan(\alpha\pm\beta)=\cfrac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}$
２倍角の公式
$\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$ $$ \begin{align} \cos 2\alpha&=\cos^{2}\alpha-\sin^{2}\alpha\\ &=1-2\sin^{2}\alpha\\ &=2\cos^{2}\alpha-1 \end{align} $$ $\tan 2\alpha=\cfrac{2\tan\alpha}{1-\tan^{2}\alpha}$
３倍角の公式
$\sin 3\alpha=-4\sin^{3}\alpha+3\sin\alpha$ $\cos 3\alpha=4\cos^{3}\alpha-3\cos\alpha$ $\tan 3\alpha=\cfrac{\tan^{3}\alpha-3\tan\alpha}{3\tan^{2}\alpha-1}$
半角公式
$\sin^{2}\cfrac{\alpha}{2}=\cfrac{1-\cos\alpha}{2}$ $\cos^{2}\cfrac{\alpha}{2}=\cfrac{1+\cos\alpha}{2}$ $\tan^{2}\cfrac{\alpha}{2}=\cfrac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}$
三角関数の合成
$a\sin\theta+b\cos\theta=\ell\sin(\theta+\alpha)$
ただし、$\ell$，$\alpha$は右図中の値
（図は$a\gt 0$，$b\gt 0$のときの例）