数学Ⅰ ：二次関数解の公式を使う

はじめに

日ごろ何気なく使っている二次方程式の解の公式だけど、方程式の解を求める以外にも使えたりする。
このページでは、解の公式の、解を求める以外の使い方を紹介する。

解の公式

まず、解の公式をちゃんと理解するために、自分で作ってみよう。

二次方程式
$a x^{2} + b x + c = 0$
の左辺を平方完成すると、

途中式

a (x^{2} + \frac{b}{a} x) + c = 0

a {x^{2} + 2 \cdot \frac{b}{2 a} x + {(\frac{b}{2 a})}^{2} - {(\frac{b}{2 a})}^{2}} + c = 0

a {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - a {(\frac{b}{2 a})}^{2} + c = 0

２項目と３項目を通分して、

a {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{a b^{2}}{(2 a)^{2}} + \frac{(2 a)^{2} c}{(2 a)^{2}} = 0

a (x +

\frac{b}{2 a}

)^{2} - a \cdot \frac{b^{2} - 4 a c}{(2 a)^{2}} = 0

①
となる。

①の両辺を $a$ で割る。
最初に二次方程式とことわってあるので、 $a \neq 0$ だから割っても問題ない。
ちょっと変わった手順で計算しているのは、話の都合による。

${(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{b^{2} - 4 a c}{(2 a)^{2}} = 0$
${(x + \frac{b}{2 a})}^{2} = \frac{b^{2} - 4 a c}{(2 a)^{2}}$

両辺の平方根をとって、
$x + \frac{b}{2 a} = \pm \sqrt{\frac{b^{2} - 4 a c}{(2 a)^{2}}}$
$x + \frac{b}{2 a}$ $= \pm \frac{\sqrt{b^{2} - 4 a c}}{| 2 a |}$
だけど、右辺の分母の絶対値は今はなくても大丈夫なので
$x + \frac{b}{2 a} = \pm \frac{\sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$
とかける。

あとは、 $\frac{b}{2 a}$ を移項すれば、
$x = - \frac{b}{2 a} \pm \frac{\sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$
$x$ $= \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$
と、解の公式ができる。

計算の途中に気づいたかもしれないけど、解の公式の $\frac{b}{2 a}$ の部分は、①の赤い部分からきている。
なので、解の公式の前半の $- \frac{b}{2 a}$ は、放物線 $y = a x^{2} + b x + c$ の軸（頂点の $x$ 座標）だ。

また、解の公式の√の中の $b^{2} - 4 a c$ を考えると、

$b^{2} - 4 a c < 0$ のとき、
$\sqrt{b^{2} - 4 a c}$ は負の数の平方根になってしまうので、実数解にならない

$b^{2} - 4 a c = 0$ のとき、方程式の実数解は
$\frac{- b \pm \sqrt{0}}{2 a} = \frac{- b}{2 a}$
の１個

$b^{2} - 4 a c > 0$ のとき、方程式の実数解は
$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$
だけど、これを復号を使わずに書くと、
$\frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ と $\frac{- b - \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$
で２個

である。
つまり判別式だ。

さらに、二次方程式が実数解を持つとき、２つの解の差は、解の公式より
$\frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} - \frac{- b - \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$
$= \frac{2 \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$
$= \frac{\sqrt{b^{2} - 4 a c}}{a}$
である。

$a < 0$ のとき、上の計算だと、小さい方の解から大きい方の解を引いてしまうので負の値になる。

以上をまとめると、

図の固定

となる。

このうち、放物線の軸と２つの解の差を、下の例題で実際に使ってみよう。

例題１

$a > 0$ とする。 $0 ≦ x ≦ 3$ における二次関数 $y = a x^{2} - b x - 1$ の最大値が $5$ ，最小値が $- 3$ のとき、 $a$ ， $b$ の値を求めなさい。

解説

問題を見てすぐに気づくのは、
$x = 0$ のとき $y = - 1$ なので、定義域の左端( $x = 0$ )は最大値でも最小値でもない ということ。
なので、定義域の左端以外に最大値・最小値がないといけない。

この場合、
$a > 0$ なので、最小値が頂点、最大値が定義域の右端( $x = 3$ ) 最大値が定義域の右端なので定義域の左半分に頂点があるとなり、図Ｂのようなグラフになるはず。

この方針で解いてみよう。

まず、この二次関数のグラフの頂点を求める。
平方完成してもいいんだけど、係数が文字だらけで面倒なので、ここでは上で解説した方法を使う。

図Ａより、頂点の $x$ 座標は
$\frac{- (- b)}{2 a} = \frac{b}{2 a}$
である。

これが定義域の左半分にあるので、
$0 < \frac{b}{2 a} < \frac{3}{2}$
$0 < \frac{b}{a} < 3$ 式Ａ
でないといけない。

頂点の $x$ 座標を二次関数の式に代入すると、
$y = a {(\frac{b}{2 a})}^{2} - b \cdot \frac{b}{2 a} - 1$
より
$y = \frac{b^{2}}{4 a} - \frac{b^{2}}{2 a} - 1$
$y$ $= - \frac{b^{2}}{4 a} - 1$
となり、これが頂点の $y$ 座標だ。

頂点が最小値の $- 3$ なので、
$- \frac{b^{2}}{4 a} - 1 = - 3$
より
$\frac{b^{2}}{4 a} = 2$
$8 a = b^{2}$
$a = \frac{b^{2}}{8}$ 式Ｂ
である。

また、定義域の右端の $x = 3$ を二次関数の式に代入すると、
$y = 3^{2} a - 3 b - 1$
$y$ $= 9 a - 3 b - 1$

このとき二次関数は最大値の $5$ なので、
$9 a - 3 b - 1 = 5$
$9 a - 3 b - 6 = 0$
$3 a - b - 2 = 0$ 式Ｃ
である。

あとは、式Ｂと式Ｃの連立方程式を解く。

式Ｂを式Ｃに代入して、
$3 \cdot \frac{b^{2}}{8} - b - 2 = 0$
より、両辺を $8$ 倍して
$3 b^{2} - 8 b - 16 = 0$

これをたすきがけすると、

$3 b$	$+ 4$	→	$4 b$
$b$	$- 4$	→	$- 12 b$
$3 b^{2}$	$- 16$		$- 8 b$

となるので、
$(3 b + 4) (b - 4) = 0$
と因数分解できる。
よって、
$b = - \frac{4}{3}$ ， $4$
となる。

$b = - \frac{4}{3}$ のとき、これを式Ｂに代入して、
$a = \frac{{(- \frac{4}{3})}^{2}}{8}$
だけど、このとき、
$\frac{b}{a} = \frac{- \frac{4}{3}}{\frac{{(- \frac{4}{3})}^{2}}{8}}$ $< 0$
となって、式Ａに合わない。
よって、不適。

$b = 4$ のとき、これを式Ｂに代入して、
$a = \frac{4^{2}}{8}$
$a$ $= 2$
だけど、このとき、
$\frac{b}{a} = \frac{4}{2} = 2$
となるので、式Ａの条件を満たす。
なので、これが答えだ。

以上より、
${\begin{cases} a = 2 \\ b = 4 \end{cases}$
である。

解答 $a = 2$
$b = 4$

例題２

放物線 $y = x^{2} - x$ が、直線 $y = 2 x - 1$ から切り取る線分の長さを求めなさい。

解説

まず、図を描こう。

図の固定

放物線が直線から切り取る線分の長さなので、問われているのは図Ｃの $AB$ （赤い線）の長さだ。
図Ｃの緑の三角形を考えると、
赤い線の傾きが $2$ なので、 $AC : BC = 1 : 2$ $∠ C = 90^{\circ}$ の直角三角形なので、 ${AC}^{2} + {BC}^{2} = {AB}^{2}$ だから、
$AC : AB = 1 : \sqrt{5}$
より
$AB = \sqrt{5} AC$ 式Ｄ
であることが分かる。

というわけで、 $AC$ を求めよう。

$AC$ は、点 $A$ と点 $B$ の $x$ 座標の差にあたる。

点 $A$ と点 $B$ の座標は、連立方程式
$[\begin{array}{l} y = x^{2} - x \\ y = 2 x - 1 \end{array}$
の解なので、これを求める。

２つの式を辺々引くと、

	$y$	$=$	$x^{2}$	$- x$
$-)$	$y$	$=$		$2 x$	$- 1$
	$0$	$=$	$x^{2}$	$- 3 x$	$+ 1$

より、
$x^{2} - 3 x + 1 = 0$
となる。

この２つの解の差が、 $AC$ だ。

因数分解はできないので、解の公式を使って解を求めて引き算してもいいんだけど、ここでは図Ａの方法を使おう。
図Ａより、２つの解の差は
$\pm \frac{\sqrt{(- 3)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{1}$
$= \pm \sqrt{9 - 4}$
$= \pm \sqrt{5}$
となる。
$\pm$ がついているのは、解の大きい方から小さい方を引いたら $+$ ，逆だと-になるから。
ここでは $AC$ の長さなので、大きい方から小さい方を引いて
$AC = \sqrt{5}$
である。

あとは、これを式Ｄに代入して、
$AB = \sqrt{5} \cdot \sqrt{5}$
$AB$ $= 5$
より、図Ｃの赤い線の長さ、つまり $y = x^{2} - x$ が $y = 2 x - 1$ から切り取る線分の長さは $5$ である。

解答５