まず、解の公式をちゃんと理解するために、自分で作ってみよう。

二次方程式
$ax^{2}+bx+c=0$
の左辺を平方完成すると、

途中式

$\displaystyle a\left(x^{2}+\frac{b}{a}x\right)+c=0$
$\displaystyle a\left\{x^{2}+2\cdot\frac{b}{2a}x+\left(\frac{b}{2a}\right)^{2}-\left(\frac{b}{2a}\right)^{2}\right\}+c=0$
$\displaystyle a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}-a\left(\frac{b}{2a}\right)^{2}+c=0$
２項目と３項目を通分して、
$a\displaystyle \left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}-\frac{ab^{2}}{(2a)^{2}}+\frac{(2a)^{2}c}{(2a)^{2}}=0$

$ a\biggl(x+$$\displaystyle \frac{b}{2a}$$\biggr)^{2}-a\cdot \displaystyle \frac{b^{2}-4ac}{(2a)^{2}}=0$①
となる。

①の両辺を$a$で割る。
最初に二次方程式とことわってあるので、$a\neq 0$だから割っても問題ない。
ちょっと変わった手順で計算しているのは、話の都合による。

$\displaystyle \left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}-\frac{b^{2}-4ac}{(2a)^{2}}=0$
$\displaystyle \left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}=\frac{b^{2}-4ac}{(2a)^{2}}$

両辺の平方根をとって、
$x+\displaystyle \frac{b}{2a}=\pm\sqrt{\frac{b^{2}-4ac}{(2a)^{2}}}$
$x+\displaystyle \frac{b}{2a}$$\displaystyle=\pm\frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{|2a|}$
だけど、右辺の分母の絶対値は今はなくても大丈夫なので
$x+\displaystyle \frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$
とかける。

あとは、$\displaystyle \frac{b}{2a}$を移項すれば、
$x=-\displaystyle \frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$
$x$$\displaystyle=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$
と、解の公式ができる。

また、解の公式の√の中の$b^{2}-4ac$を考えると、

$b^{2}-4ac\lt0$のとき、
$\sqrt{b^{2}-4ac}$は負の数の平方根になってしまうので、実数解にならない

$b^{2}-4ac=0$のとき、方程式の実数解は
$\displaystyle \frac{-b\pm\sqrt{0}}{2a}=\frac{-b}{2a}$
の１個

$b^{2}-4ac\gt0$のとき、方程式の実数解は
$\displaystyle \frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$
だけど、これを復号を使わずに書くと、
$\displaystyle \frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$と$\displaystyle \frac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$
で２個

である。
つまり判別式だ。

さらに、二次方程式が実数解を持つとき、２つの解の差は、解の公式より
$\displaystyle \frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}-\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$
$=\displaystyle \frac{2\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$
$=\displaystyle \frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{a}$
である。

$a\lt0$のとき、上の計算だと、小さい方の解から大きい方の解を引いてしまうので負の値になる。

まず、この二次関数のグラフの頂点を求める。
平方完成してもいいんだけど、係数が文字だらけで面倒なので、ここでは上で解説した方法を使う。

図Ａより、頂点の$x$座標は
$\displaystyle \frac{-(-b)}{2a}=\frac{b}{2a}$
である。

これが定義域の左半分にあるので、
$0\lt\displaystyle \frac{b}{2a}\lt\frac{3}{2}$
$0\lt\displaystyle \frac{b}{a}\lt3$式Ａ
でないといけない。

あとは、式Ｂと式Ｃの連立方程式を解く。

式Ｂを式Ｃに代入して、
$3\displaystyle \cdot\frac{b^{2}}{8}-b-2=0$
より、両辺を$8$倍して
$3b^{2}-8b-16=0$

これをたすきがけすると、

$3b$		$+4$	→	$4b$
$b$		$-4$	→	$-12b$
$3b^{2}$		$-16$		$-8b$

となるので、
$(3b+4)(b-4)=0$
と因数分解できる。
よって、
$b=-\displaystyle \frac{4}{3}$，$4$
となる。

$b=-\displaystyle \frac{4}{3}$のとき、これを式Ｂに代入して、
$a=\displaystyle \frac{\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}}{8}$
だけど、このとき、
$\displaystyle \frac{b}{a}=\frac{-\frac{4}{3}}{\frac{\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}}{8}}$$\lt0$
となって、式Ａに合わない。
よって、不適。

$b=4$のとき、これを式Ｂに代入して、
$a=\displaystyle \frac{4^{2}}{8}$
$a$$=2$
だけど、このとき、
$\displaystyle \frac{b}{a}=\frac{4}{2}=2$
となるので、式Ａの条件を満たす。
なので、これが答えだ。

$\mathrm{AC}$は、点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$の$x$座標の差にあたる。

点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$の座標は、連立方程式
$\left[\begin{array}{l}
y=x^{2}-x\\
y=2x-1
\end{array}\right.$
の解なので、これを求める。

２つの式を辺々引くと、

	$y$	$=$	$x^{2}$	$-x$
$-)$	$y$	$=$		$2x$	$-1$
	$0$	$=$	$x^{2}$	$-3x$	$+1$

より、
$x^{2}-3x+1=0$
となる。

この２つの解の差が、$\mathrm{AC}$だ。

因数分解はできないので、解の公式を使って解を求めて引き算してもいいんだけど、ここでは図Ａの方法を使おう。
図Ａより、２つの解の差は
$\displaystyle \pm\frac{\sqrt{(-3)^{2}-4\cdot 1\cdot 1}}{1}$
$=\pm\sqrt{9-4}$
$=\pm\sqrt{5}$
となる。
$\pm$がついているのは、解の大きい方から小さい方を引いたら$+$，逆だと-になるから。
ここでは$\mathrm{AC}$の長さなので、大きい方から小さい方を引いて
$\mathrm{AC}=\sqrt{5}$
である。