例題の図のような四面体には よく使う性質があるけど、結構忘れがちだから復習しておこう。

復習

重要事項

ひとつの頂点から出ている３つの辺の長さが等しい四面体について、
その頂点から対面に下ろした垂線の足は、対面の三角形の外心である。

これじゃよく分からないから、図で説明する。

図の固定

図Ａのような、赤い線の長さはすべて等しい四面体を考える。
点Ａから平面$\mathrm{BCD}$に垂線を下ろして、その足を$\mathrm{H}$としたとき、
点$\mathrm{H}$は三角形$\mathrm{BCD}$の外心になる。

図の固定

図Ｂのように、垂線の足が底面の三角形の外にある場合にも同じことが言える。

こうなる理由は知らなくても共通テストは解けるけど、単純な話だから載せておこう。

図Ｃにおいて、赤い線の長さがすべて等しく、線分$\mathrm{AH}$（青い線）が平面$\mathrm{BCD}$に垂直である場合、斜辺と他の一辺が等しいので３つの緑の直角三角形は合同である。
なので、３本のオレンジの線の長さは等しいから、点$\mathrm{H}$は三角形$\mathrm{BCD}$の外心である。

四面体の底面の三角形$\mathrm{BCD}$の外接円の半径を$R$とする。
三角形$\mathrm{BCD}$に正弦定理を使って、
$2R={\displaystyle \frac{\mathrm{CD}}{\sin \mathrm{\angle }\mathrm{B}}}$
$2R{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{4}{\sin {30}^{\circ }}}$
$2R{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{4}{\frac{1}{2}}}$
$R=4$式Ａ

頂点$\mathrm{A}$から三角形$\mathrm{BCD}$に垂線を下ろし、その足を$\mathrm{H}$とする。
このとき、復習より、点$\mathrm{H}$は三角形$\mathrm{BCD}$の外心である。

ここで、三角形$\mathrm{ABH}$（図Ｄの緑の三角形）を考えると、
問題より、$\mathrm{AB}=5$
式Ａより外接円の半径は$4$だから、$\mathrm{BH}=4$
$\mathrm{\angle }\mathrm{AHB}={90}^{\circ }$
なので、三平方の定理より、
${\mathrm{AH}}^2={\mathrm{AB}}^2-{\mathrm{BH}}^2$
${\mathrm{AH}}^2$$=3^2$
$\mathrm{AH}=3$
になる。
よって、四面体の高さは$3$である。

解答$3$