まず、図を描こう。

正確に描くと、図Ａのような感じになる。
だけど、共通テスト本番でこんな図を描いてはいけない。時間がかかるから。
おすすめは、図Ｂのような略図だ。

この図Bを見ながら問題を解く。

---

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{CD}}$を求めると、

となる。

よって、

$$ \begin{align} \overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{CD}}&=(1,-1,1)\cdot(-1,-2,-1)\\ &=-1+2-1\\ &=0 \end{align} $$

解答オ：０

なので、
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$⊥$\overrightarrow{\mathrm{CD}}$
だ。

図Ｂに(1)で分かったことを書き込むと、図Ｃができる。

点$\mathrm{P}$は$\ell_{1}$上にあるので、$s$を実数として
$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=s\overrightarrow{\mathrm{AB}}$式Ａ
と表せる。

また、$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$は
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{AP}}$
だけど、これは、式Ａより
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+s\overrightarrow{\mathrm{AB}}$式Ｂ
とかきなおせる。

解答カ：２

式Ｂを使って、$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$が最小となる$s$を求める。

図Ｃと式Ｂより、$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$は
$$ \begin{align} \overrightarrow{\mathrm{OP}}&=(2,7,-1)+s(1,-1,1)\\ &=(2+s,7-s,-1+s)\class{tex_formula}{式Ｂ'} \end{align} $$ とかける。

よって、$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|^{2}$は
$$ \begin{align} |\overrightarrow{\mathrm{OP}}|^{2}&=(2+s)^{2}+(7-s)^{2}+(-1+s)^{2}\\ &=4+4s+s^{2}+49-14s+s^{2}+1-2s+s^{2}\\ &=3s^{2}-12s+54\class{tex_formula}{式Ｃ} \end{align} $$ と表せる。

解答キ：３, ク：１, ケ：２, コ：５, サ：４

式Ｃについて、
グラフは下に凸の放物線 $s$の範囲はすべての実数 だから、$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|^{2}$が最小になるのは放物線の頂点だ。

ここで

復習

２次関数 $y=ax^{2}+bx+c$ の頂点の$x$座標は
$\dfrac{-b}{2a}$

なので、式Ｃの放物線の頂点の$s$座標は
$\dfrac{12}{2\cdot 3}=2$
である。

したがって、$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|^{2}$が最小、つまり$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$が最小となる$s$も
$s=2$
であることが分かる。

解答ス：２

３点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る平面を取り出すと、直線$\ell_{1}$と点$\mathrm{O}$の関係は図Ｄのようになっている。

直線$\ell_{1}$と点$\mathrm{O}$の最短距離は、図Ｄの赤い線分の長さ。
なので、$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$が最小になるのは、点$\mathrm{P}$が図Ｄの青い点のときだ。

このとき、
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$⊥$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$
より
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}}=0$式Ｅ
である。

解答シ：１

ここで、図Ｄと式Ｂより、
$$ \begin{align} \overrightarrow{\mathrm{OP}}&=(2,7,-1)+s(1,-1,1)\\ &=(2+s,7-s,-1+s)\class{tex_formula}{式Ｂ'} \end{align} $$ なので、式Ｅは
$(2+s,7-s,-1+s)\cdot(1,-1,1)=0$
と書きかえられる。

これを計算して、$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$が最小となる$s$は
$2+s-7+s-1+s=0$
$3s-6=0$
$s=2$
である。

解答ス：２

今度は$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$が最小になるときを考える。
なので、まず$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を式で表そう。
使う図は図Ｃなので、もう一度載せておく。

点$\mathrm{Q}$は直線$\ell_{2}$上にあるので、(2)と同様に、$t$を実数として
$\overrightarrow{\mathrm{CQ}}=t\overrightarrow{\mathrm{CD}}$式Ｆ
と表せる。

また、$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$は
$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}+\overrightarrow{\mathrm{CQ}}$
だけど、これは、式Ｆより
$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}+t\overrightarrow{\mathrm{CD}}$
とかきなおせる。

これを成分で表すと、
$$ \begin{align} \overrightarrow{\mathrm{OQ}}&=(-8,10,-3)+t(-1,-2,-1)\\ &=(-8-t,10-2t,-3-t)\class{tex_formula}{式Ｇ} \end{align} $$ だ。

したがって、
$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\overrightarrow{\mathrm{OQ}}-\overrightarrow{\mathrm{OP}}$
は、式Ｇ，式Ｂ'より
$$ \begin{align} \overrightarrow{\mathrm{PQ}}&=(-8-t,10-2t,-3-t)\\ &\hspace{60px} -(2+s,7-s,-1+s)\\ &=(-10-s-t,3+s-2t,-2-s-t) \end{align} $$ 式Ｈ
となる。

式Ｈを使って、花子さんと太郎さん両方の考え方で解いてみる。

式Ｈより、$|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|^{2}$は
$$ \begin{align} |\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|^{2}&=(-10-s-t)^{2}+(3+s-2t)^{2}\\ &\hspace{60px}+(-2-s-t)^{2}\\ \end{align} $$

途中式

$$ \begin{align} \phantom{|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|^{2}}&=(100+s^{2}+t^{2}+20s+20t+2st)\\ &\hspace{40px}+(9+s^{2}+4t^{2}+6s-12t-4st)\\ &\hspace{80px}+(4+s^{2}+t^{2}+4s+4t+2st)\\ \end{align} $$

$\phantom{|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|^{2}}=\textcolor{red}{3s^{2}+30s}+\textcolor{green}{6t^{2}+12t}+113$式Ｉ
と表せる。

式Ｉの赤い部分を平方完成すると、
$$ \begin{align} 3s^{2}+30s&=3(s^{2}+10s+5^{2}-5^{2})\\ &=3(s+5)^{2}-3\cdot 5^{2} \end{align} $$ 式Ｉの緑の部分を平方完成すると、
$$ \begin{align} 6t^{2}+12t&=6(t^{2}+2t+1^{2}-1^{2})\\ &=6(t+1)^{2}-6\cdot 1^{2} \end{align} $$ なので、式Ｉは
$$ \begin{align} |\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|^{2}&=3(s+5)^{2}-3\cdot 5^{2}\\ &\hspace{60px}+6(t+1)^{2}-6\cdot 1^{2}+113\\ &=\textcolor{red}{3(s+5)^{2}}+\textcolor{green}{6(t+1)^{2}}\\ &\hspace{60px}+\textcolor{royalblue}{113-3\cdot 5^{2}-6\cdot 1^{2}}\class{tex_formula}{式Ｉ'} \end{align} $$ と変形できる。

いま、$s$と$t$は互いに無関係なので、式Ｉ'の
赤い部分は、$s=-5$のとき 最小値$0$ 緑の部分は、$t=-1$のとき 最小値$0$ だ。
最小値は問われてないので、式Ｉ'の青い部分は計算しない。

以上より、$|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|^{2}$が最小、つまり$|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|$が最小となるのは
$\left\{\begin{array}{l}
s=-5\\
t=-1
\end{array}\right.$
のとき。

これを

である。

(2)の別解の方法は、計算が煩雑になるから省略。

(1)で考えたように
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$⊥$\overrightarrow{\mathrm{CD}}$
なので
$\ell_{1}$⊥$\ell_{2}$
だから、消しゴムとか辞書の箱とか、直方体のものを思い浮かべると$\ell_{1}$と$\ell_{2}$の位置関係が分かりやすい。

図Ｅのように、直方体の青い辺とその延長が$\ell_{1}$，緑の辺とその延長が$\ell_{2}$と考える。

$\ell_{1}$と$\ell_{2}$の最短距離は、図Ｅの赤線の長さ。
したがって、線分$\mathrm{PQ}$が最小になるのは、点$\mathrm{P}$が図中の青い点，点$\mathrm{Q}$が緑の点のときだ。

このとき、
$\mathrm{PQ}$⊥$\ell_{1}$ $\mathrm{PQ}$⊥$\ell_{2}$ より
$\left\{\begin{array}{l} \overrightarrow{\mathrm{PQ}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}}=0\class{tex_formula}{式Ｊ}\\ \overrightarrow{\mathrm{PQ}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{CD}}=0\class{tex_formula}{式Ｋ} \end{array}\right.$
という式がつくれる。

ここで、式Ｈより
$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=(-10-s-t,3+s-2t,-2-s-t)$
なので、

であることが分かる。

以上より、$|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|^{2}$が最小、つまり$|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|$が最小となるのは
$\left\{\begin{array}{l}
s=-5\\
t=-1
\end{array}\right.$
のとき。

これを

である。